Sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỷ

Thuật ngữ số Số điểm mang đến cho tâm trí của chúng ta những gì thường được phân loại là giá trị nguyên dương lớn hơn 0. Các lớp số khác bao gồm số nguyên và phân số, phức tạp và số thực và cũng giá trị nguyên âm.

Mở rộng phân loại số hơn nữa, chúng ta bắt gặp hợp lý và không hợp lý số. Một số hữu tỷ là một số có thể được viết dưới dạng phân số. Nói cách khác, số hữu tỷ có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của hai số.

Hãy xem xét, ví dụ, số 6. Nó có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của hai số viz. 6 và 1, dẫn đến tỷ lệ 6/1. Tương tự như vậy, 2/3, được viết dưới dạng phân số, là số hữu tỷ.

Do đó, chúng ta có thể định nghĩa một số hữu tỷ, vì một số được viết dưới dạng phân số, trong đó cả tử số (số trên cùng) và mẫu số (số ở dưới cùng) là số nguyên. Theo định nghĩa, do đó, mọi số nguyên cũng là một số hữu tỷ.

Tỷ lệ của hai số lớn như (129.367.871)/(547,724,863) cũng sẽ tạo thành một ví dụ về số hữu tỷ vì lý do đơn giản là cả tử số và mẫu số đều là số nguyên.

Ngược lại, bất kỳ số nào không thể được biểu thị dưới dạng phân số hoặc tỷ lệ được gọi là không hợp lý. Ví dụ thường được trích dẫn nhất của một số vô tỷ là √2 (1.414213Giáo dục). Một ví dụ phổ biến khác về số vô tỷ là hằng số π (3.141592 ).

Một số vô tỷ có thể được viết dưới dạng thập phân, nhưng không phải là một phân số. Số vô tỷ thường không được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày mặc dù chúng tồn tại trên dòng số. Có vô số các số vô tỷ giữa 0 và 1 trên dòng số. Một số vô tỷ có các chữ số không lặp lại vô tận ở bên phải dấu thập phân.

Lưu ý rằng giá trị được trích dẫn của 22/7 cho hằng số π thực tế chỉ là một giá trị của π. Theo định nghĩa, chu vi của một vòng tròn chia cho hai lần bán kính của nó là giá trị của π. Điều này dẫn đến nhiều giá trị của π, bao gồm nhưng không giới hạn trong, 333/106, 355/113 và v.v..

Chỉ căn bậc hai của số vuông; tức là, căn bậc hai của hình vuông hoàn hảo là hợp lý.

1= 1 (Hợp lý)

√2 (Không hợp lý)

3 (Không hợp lý)

√4 = 2 (Hợp lý)

√5, 6, √7, √8 (Không hợp lý)

√9 = 3 (Hợp lý), v.v..

Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng, chỉ ngốc rễ của nquyền hạn th là hợp lý. Như vậy, Thứ 6 gốc rễ của 64 là hợp lý, bởi vì 64 là một Thứ 6 sức mạnh, cụ thể là Thứ 6 sức mạnh của 2. Nhưng Thứ 6 gốc rễ của 63 là phi lý. 63 không hoàn hảo 6thứ tự quyền lực.

Chắc chắn, biểu diễn thập phân của các số vô tỷ được đưa vào hình ảnh và đưa ra một số kết quả thú vị.

Khi chúng ta thể hiện một hợp lý số là số thập phân, sau đó số thập phân sẽ là chính xác (như trong 1/5= = 0,20) hoặc nó sẽ là không chính xác (như trong, 1/3 0,3333). Trong cả hai trường hợp, sẽ có một mẫu chữ số có thể dự đoán được. Lưu ý rằng khi một không hợp lý số được biểu thị dưới dạng thập phân, sau đó rõ ràng nó sẽ không chính xác, bởi vì nếu không, số đó sẽ là hợp lý.

Hơn nữa, sẽ không có một mẫu chữ số có thể dự đoán được. Ví dụ,

√21.4142135623730950488016887242097

Bây giờ, với số hữu tỷ, thỉnh thoảng chúng ta bắt gặp 1/11 = 0,0909090.

Việc sử dụng cả hai dấu bằng (= =) và ba dấu chấm (dấu chấm lửng) ngụ ý rằng mặc dù không thể diễn đạt 1/11 chính xác như một số thập phân, chúng ta vẫn có thể ước chừng nó với càng nhiều chữ số thập phân càng được phép để gần với 1/11.

Do đó, dạng thập phân của 1/11 được coi là không chính xác. Với cùng một mã thông báo, dạng thập phân của  ¼ là 0,25, chính xác.

Đến với dạng thập phân cho các số vô tỷ, chúng sẽ luôn luôn không chính xác. Tiếp tục với ví dụ về √2, khi chúng ta viết √2 = 1.41421356237Re (lưu ý việc sử dụng dấu chấm lửng), nó ngay lập tức ngụ ý rằng không có số thập phân cho √2 sẽ chính xác Hơn nữa, sẽ không có một mẫu chữ số có thể dự đoán được. Sử dụng các khái niệm từ các phương thức số, một lần nữa, chúng ta có thể ước chừng một cách hợp lý cho bao nhiêu chữ số thập phân cho đến khi chúng ta gần với √2.

Bất kỳ lưu ý nào về số hữu tỷ và số vô tỷ đều không thể kết thúc mà không có bằng chứng bắt buộc về lý do tại sao √2 là không hợp lý. Khi làm như vậy, chúng tôi cũng làm sáng tỏ, ví dụ kinh điển về một bằng chứngphóng xạ.

Giả sử √2 là hợp lý. Điều này dẫn đến việc chúng ta biểu diễn nó theo tỷ lệ của hai số nguyên, nói p và q.

√2 = p / q

không cần nói rằng, p và q không có yếu tố chung, vì nếu có bất kỳ yếu tố chung nào, chúng tôi sẽ hủy chúng ra khỏi tử số và mẫu số.

Bình phương cả hai mặt của phương trình, chúng ta kết thúc với,

2 = p2 / q2

Điều này có thể được viết thuận tiện như,

p2 = 2q2

Phương trình cuối cùng cho thấy rằng p2 là chẵn Điều này chỉ có thể nếu p chính nó là thậm chí Đến lượt nó ngụ ý rằng p2 chia hết cho 4. Vì thế, q2 và do đó q phải chẵn Vì thế p và q cả hai đều mâu thuẫn với giả định ban đầu của chúng tôi rằng chúng không có yếu tố chung. Như vậy, √2 không thể hợp lý Q.E.D.