Sự khác biệt giữa chức năng rời rạc và chức năng liên tục

Chức năng rời rạc so với chức năng liên tục

Hàm là một trong những lớp quan trọng nhất của các đối tượng toán học, được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phụ của toán học. Như tên của chúng cho thấy cả hai hàm rời rạc và hàm liên tục là hai loại hàm đặc biệt.

Hàm là mối quan hệ giữa hai bộ được xác định theo cách sao cho mỗi phần tử trong tập thứ nhất, giá trị tương ứng với nó trong tập thứ hai là duy nhất. Để cho f là một hàm được định nghĩa từ tập hợp Một vào tập B. Sau đó cho mỗi xA, biểu tượng f(x) biểu thị giá trị duy nhất trong tập hợp B tương ứng với x. Nó được gọi là hình ảnh của x dưới f. Do đó, một mối quan hệ f từ A đến B là một hàm, nếu và chỉ nếu cho, mỗi xϵ A và y ϵ A; nếu x = y sau đó f(x) = f(y). Tập A được gọi là miền của hàm f, và nó là tập hợp trong đó hàm được định nghĩa.

Ví dụ, hãy xem xét mối quan hệ f từ R thành R được xác định bởi f(x) = x + 2 cho mỗi xϵ A. Đây là hàm có miền là R, vì với mỗi số thực x và y, x = y ngụ ý f(x) = x + 2 = y + 2 = f(y). Nhưng mối quan hệ g từ N thành N được xác định bởi g(x) = a, trong đó 'a' là một thừa số nguyên tố của x không phải là hàm như g(6) = 3, cũng như g(6) = 2.

Hàm rời rạc là gì?

Hàm rời rạc là hàm có tên miền nhiều nhất có thể đếm được. Đơn giản, điều này có nghĩa là có thể tạo một danh sách bao gồm tất cả các yếu tố của miền.

Bất kỳ tập hợp hữu hạn là nhiều nhất có thể đếm được. Tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số hữu tỷ là ví dụ cho hầu hết các tập vô hạn có thể đếm được. Tập hợp các số thực và tập hợp các số vô tỷ không thể đếm được nhiều nhất. Cả hai bộ là không thể đếm được. Điều đó có nghĩa là không thể lập danh sách bao gồm tất cả các yếu tố của các bộ đó.

Một trong những hàm rời rạc phổ biến nhất là hàm giai thừa. f : N U 0 → N được định nghĩa đệ quy bởi f(n) = nf(n-1) cho mỗi n 1 và f(0) = 1 được gọi là hàm giai thừa. Quan sát rằng miền N U 0 của nó có thể đếm được nhiều nhất.

Hàm liên tục là gì?

Để cho f là một hàm sao cho mỗi k trong miền của f, f(x) →f(k) là x → k. Sau đó flà một hàm liên tục. Điều này có nghĩa là có thể thực hiện f(x) tùy ý gần với f(k) bằng cách làm x đủ gần với k cho mỗi k trong miền của f.

Xem xét chức năng f(x) = x + 2 trên R. Có thể thấy rằng x → k, x + 2 → k + 2 đó là f(x) →f(k). vì thế, f là một hàm liên tục. Bây giờ, hãy xem xét g trên các số thực dương g(x) = 1 nếu x> 0 và g(x) = 0 nếu x = 0. Khi đó, hàm này không phải là hàm liên tục như giới hạn của g(x) không tồn tại (và do đó nó không bằng g(0)) là x → 0.