Sự khác biệt giữa biến đổi Laplace và Fourier

Biến đổi Laplace vs Fourier
 

Cả biến đổi Laplace và biến đổi Fourier đều là biến đổi tích phân, thường được sử dụng làm phương pháp toán học để giải các hệ thống vật lý được mô hình hóa bằng toán học. Quá trình này rất đơn giản. Một mô hình toán học phức tạp được chuyển đổi thành một mô hình đơn giản hơn, có thể giải được bằng cách sử dụng một phép biến đổi tích phân. Khi mô hình đơn giản hơn được giải quyết, biến đổi tích phân nghịch đảo được áp dụng, sẽ cung cấp giải pháp cho mô hình ban đầu.

Ví dụ, vì hầu hết các hệ thống vật lý dẫn đến phương trình vi phân, chúng có thể được chuyển đổi thành phương trình đại số hoặc phương trình vi phân có thể giải quyết dễ dàng ở mức độ thấp hơn bằng cách sử dụng một phép biến đổi tích phân. Sau đó, giải quyết vấn đề sẽ trở nên dễ dàng hơn.

Biến đổi Laplace là gì?

Cho một chức năng f (t) của một biến thực t, biến đổi Laplace của nó được xác định bởi tích phân (bất cứ khi nào nó tồn tại), đó là một hàm của một biến phức tạp S. Nó thường được ký hiệu là L f (t). Biến đổi Laplace ngược của hàm F(S) được coi là hàm f (t) theo cách mà L f (t) = F(S) và trong ký hiệu toán học thông thường chúng ta viết, L ^-1F(S) = f (t).Biến đổi nghịch đảo có thể được tạo thành duy nhất nếu các hàm null không được phép. Người ta có thể xác định hai cái này là toán tử tuyến tính được định nghĩa trong không gian hàm và cũng dễ dàng nhận thấy rằng, L ^-1L f (t) = f (t), nếu các hàm null không được phép.

Bảng sau liệt kê các biến đổi Laplace của một số hàm phổ biến nhất.

Biến đổi Fourier là gì?

Cho một chức năng f (t) của một biến thực t, biến đổi Laplace của nó được xác định bởi tích phân (bất cứ khi nào nó tồn tại) và thường được ký hiệu là F f (t). Biến đổi nghịch đảo F ^-1F(α) được cho bởi tích phân . Biến đổi Fourier cũng là tuyến tính và có thể được coi là một toán tử được xác định trong không gian hàm.

Sử dụng biến đổi Fourier, hàm ban đầu có thể được viết như sau với điều kiện là hàm chỉ có số lần gián đoạn hữu hạn và hoàn toàn có thể tích hợp.

Sự khác biệt giữa Biến đổi Laplace và Fourier là gì?

• Biến đổi Fourier của hàm f (t) được định nghĩa là , trong khi biến đổi laplace của nó được định nghĩa là .
• Biến đổi Fourier chỉ được xác định cho các hàm được xác định cho tất cả các số thực, trong khi biến đổi Laplace không yêu cầu hàm được xác định khi đặt các số thực âm.
• Biến đổi Fourier là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace. Có thể thấy rằng cả hai trùng khớp với các số thực không âm. (tức là lấy S trong Laplace để được iα + β Ở đâu α và β là thật như vậy đó e ^β= = ¹/_(2ᴫ))
• Mỗi hàm có biến đổi Fourier sẽ có biến đổi Laplace nhưng không phải ngược lại.