Sự khác biệt giữa các sự kiện độc quyền và độc lập lẫn nhau

Sự kiện độc quyền lẫn nhau

Mọi người thường nhầm lẫn khái niệm các sự kiện loại trừ lẫn nhau với các sự kiện độc lập. Trên thực tế, đây là hai điều khác nhau..

Đặt A và B là hai sự kiện bất kỳ liên quan đến một thí nghiệm ngẫu nhiên E. P (A) được gọi là Xác suất xác định của A. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa xác suất của B là P (B), xác suất của A hoặc B là P (A∪B) và xác suất của A và B là P (A∩B). Khi đó, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Tuy nhiên, hai sự kiện được cho là loại trừ lẫn nhau nếu sự xuất hiện của một sự kiện không ảnh hưởng đến sự kiện kia. Nói cách khác, chúng không thể xảy ra đồng thời. Do đó, nếu hai sự kiện A và B loại trừ lẫn nhau thì A∩B = và do đó, điều đó hàm ý P (A∪B) = P (A) + P (B).

Đặt A và B là hai sự kiện trong một không gian mẫu S. Xác suất có điều kiện của A, với điều kiện B đã xảy ra, được ký hiệu là P (A | B) và được định nghĩa là; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), với điều kiện P (B)> 0. (nếu không, nó không được xác định.)

Một sự kiện A được cho là độc lập với sự kiện B, nếu xác suất A xảy ra không bị ảnh hưởng bởi việc B có xảy ra hay không. Nói cách khác, kết quả của sự kiện B không ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện A. Do đó, P (A | B) = P (A). Tương tự, B độc lập với A nếu P (B) = P (B | A). Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng nếu A và B là các sự kiện độc lập, thì P (A∩B) = P (A) .P (B)

Giả sử rằng một khối được đánh số được cuộn và một đồng xu công bằng được lật. Gọi A là biến cố lấy đầu và B là biến cố tạo ra số chẵn. Sau đó, chúng ta có thể kết luận rằng các sự kiện A và B là độc lập, bởi vì kết quả của cái này không ảnh hưởng đến kết quả của cái kia. Do đó, P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Vì P (A∩B) 0, A và B không thể loại trừ lẫn nhau.

Giả sử một chiếc bình chứa 7 viên bi trắng và 8 viên bi đen. Xác định sự kiện A như vẽ một viên bi trắng và sự kiện B như vẽ một viên bi đen. Giả sử mỗi viên bi sẽ được thay thế sau khi ghi nhận màu của nó, thì P (A) và P (B) sẽ luôn giống nhau, bất kể chúng ta rút bao nhiêu lần từ chiếc bình. Thay thế các viên bi có nghĩa là xác suất không thay đổi từ vẽ sang vẽ, bất kể chúng ta đã chọn màu nào trong lần vẽ trước. Do đó, sự kiện A và B là độc lập.

Tuy nhiên, nếu viên bi được rút ra mà không thay thế, thì mọi thứ sẽ thay đổi. Theo giả định này, các sự kiện A và B không độc lập. Vẽ một viên bi trắng lần đầu tiên thay đổi xác suất để vẽ một viên bi đen trên bản vẽ thứ hai, v.v. Nói cách khác, mỗi lần rút có ảnh hưởng đến lần rút tiếp theo và do đó, các lần rút riêng lẻ không độc lập.