Sự khác biệt giữa trực giao và dị thường

Trực giao vs Orthonatural

Trong toán học, hai từ trực giao và trực giao thường được sử dụng cùng với một tập các vectơ. Ở đây, thuật ngữ 'vectơ' được sử dụng theo nghĩa là nó là một phần tử của không gian vectơ - một cấu trúc đại số được sử dụng trong đại số tuyến tính. Để thảo luận, chúng tôi sẽ xem xét một không gian sản phẩm bên trong - một không gian vectơ V cùng với một sản phẩm bên trong [] định nghĩa trên V.

Ví dụ, đối với một sản phẩm bên trong, không gian là tập hợp của tất cả các vectơ vị trí 3 chiều cùng với sản phẩm chấm thông thường.

Trực giao là gì?

Một tập hợp con không trống S của một không gian sản phẩm bên trong V được cho là trực giao, nếu và chỉ khi cho mỗi khác biệt bạn, v trong S, [u, v] = 0; tức là sản phẩm bên trong của bạn và v bằng số vô hướng trong không gian sản phẩm bên trong.

Ví dụ: trong tập hợp tất cả các vectơ vị trí 3 chiều, điều này tương đương với việc nói rằng, đối với mỗi cặp vectơ vị trí riêng biệt p và q ở S, p và q vuông góc với nhau. (Hãy nhớ rằng sản phẩm bên trong trong không gian vectơ này là sản phẩm chấm. Ngoài ra, sản phẩm chấm của hai vectơ bằng 0 khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc với nhau.)

Xem xét bộ S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), là tập con của vectơ vị trí 3 chiều. Quan sát rằng (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Do đó, tập hợp S là trực giao. Cụ thể, hai vectơ được gọi là trực giao nếu tích bên trong của chúng bằng 0. Do đó, mỗi cặp vectơ trong Slà trực giao.

Trực giao là gì?

Một tập hợp con không trống S của một không gian sản phẩm bên trong V được cho là trực giao khi và chỉ khi S là trực giao và cho mỗi vector bạn trong S, [u, u] = 1. Do đó, có thể thấy rằng mọi tập hợp trực giao là trực giao nhưng không phải ngược lại.

Ví dụ: trong tập hợp tất cả các vectơ vị trí 3 chiều, điều này tương đương với việc nói rằng, đối với mỗi cặp vectơ vị trí riêng biệt p và q trong S, p và q vuông góc với nhau và đối với nhau p trong S, | p | = = 1. Điều này là do điều kiện [p, p] = 1 giảm xuống p.p = | p | | p |cos0 = | p |²= 1, tương đương với | p | = = 1. Do đó, với một tập trực giao, chúng ta luôn có thể tạo thành một tập trực giao tương ứng bằng cách chia mỗi vectơ cho độ lớn của nó.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) là tập hợp con trực giao của tập hợp tất cả các vectơ vị trí 3 chiều. Dễ dàng thấy rằng nó đã thu được bằng cách chia từng vectơ trong tập hợp S, bởi độ lớn của họ.

Sự khác biệt giữa trực giao và trực giao là gì?

• Một tập hợp con không trống S của một không gian sản phẩm bên trong V được gọi là trực giao, nếu và chỉ khi cho mỗi khác biệt bạn, v trong S, [u, v] = 0. Tuy nhiên, nó là trực giao, nếu và chỉ khi một điều kiện bổ sung - cho mỗi vectơ bạn trong S, [u, u] = 1 hài lòng.
• Bất kỳ tập trực giao nào là trực giao nhưng không ngược lại.
• Bất kỳ bộ trực giao nào cũng tương ứng với một bộ trực giao duy nhất nhưng một bộ trực giao có thể tương ứng với nhiều bộ trực giao.