Sự khác biệt giữa Power Series và Taylor Series

Sê-ri Power vs Taylor Series

Trong toán học, một chuỗi thực là một danh sách có thứ tự các số thực. Chính thức, nó là một hàm từ tập hợp các số tự nhiên đến tập hợp các số thực. Nếu một_nlà n^{thứ tự} thuật ngữ của một chuỗi, chúng tôi biểu thị chuỗi bằng hoặc bởi một₁, một₂,Giáo dục, một_n,Ví dụ. Hãy xem xét chuỗi 1,,, , ¹/_n,Sầu. Nó có thể được ký hiệu là 1 / n.

Có thể định nghĩa một chuỗi bằng cách sử dụng trình tự. Một chuỗi là tổng của các điều khoản của một chuỗi. Do đó, đối với mỗi chuỗi, có một chuỗi liên kết và ngược lại. Nếu một_n là chuỗi đang được xem xét, sau đó, chuỗi được hình thành bởi chuỗi đó có thể được biểu diễn dưới dạng:                                           

 Do đó, trong ví dụ trên, chuỗi liên kết là 1+¹/₂+¹/₃+Giáo dục  + ¹/_n +Giáo dục . 

Như tên cho thấy, chuỗi lũy thừa là một loại chuỗi đặc biệt và nó được sử dụng rộng rãi trong Phân tích số và mô hình toán học liên quan. Sê-ri Taylor là một chuỗi sức mạnh đặc biệt cung cấp một cách thay thế và dễ thao tác để thể hiện các chức năng nổi tiếng.

Dòng điện là gì?

Một loạt sức mạnh là một loạt các hình thức

    

đó là sự hội tụ (có thể) cho một số khoảng thời gian tập trung tại c. Các hệ số một_n có thể là số thực hoặc số phức và độc lập với x; I E. biến giả.

Ví dụ: bằng cách cài đặt một_n= 1 cho mỗi n, và c = 0, chuỗi lũy thừa 1 + x + x²+Cẩu + xⁿ+Có được. Thật dễ dàng để quan sát rằng khi x ε (-1,1), chuỗi lũy thừa này hội tụ thành 1 / (1-x).          

Một chuỗi sức mạnh hội tụ khi x = = c. Các giá trị khác của x trong đó chuỗi lũy thừa sẽ luôn ở dạng một khoảng mở ở giữa c. Đó là, sẽ có giá trị 0≤ R ≤ ∞ như vậy cho mỗi x thỏa mãn | x-c |R, chuỗi sức mạnh được hội tụ và cho mỗi x  thỏa mãn | x-c |>R, chuỗi sức mạnh là khác nhau. Giá trị này R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (R có thể lấy bất kỳ giá trị thực hoặc vô cùng tích cực).

Chuỗi sức mạnh có thể được thêm, trừ, nhân và chia bằng các quy tắc sau. Hãy xem xét hai chuỗi sức mạnh:       

   

                               .

Sau đó,                 

I E. như các điều khoản được thêm hoặc trừ với nhau. Ngoài ra, có thể nhân và chia hai chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng danh tính,

Loạt Taylor là gì?

Taylor series được định nghĩa cho một chức năng f(x) đó là vô cùng khác biệt trên một khoảng. Giả định f(x) là khác biệt trên một khoảng tập trung tại c. Sau đó, chuỗi sức mạnh được đưa ra bởi

                                                                                                                                

được gọi là sự mở rộng chuỗi Taylor của hàm f(x) trong khoảng c. (Đây f⁽ⁿ⁾(c) Biểu thị n^{thứ tự} phái sinh tại x = = c). Trong Phân tích số, một số lượng hữu hạn các số hạng trong khai triển vô hạn này được sử dụng để tính các giá trị tại các điểm trong đó chuỗi được hội tụ với hàm ban đầu.

Một chức năng f(x) được cho là phân tích trong khoảng (a, b), nếu với mỗi x ε (a, b), chuỗi Taylor của f(x) hội tụ đến hàm f(x). Ví dụ: 1 / (1-x) là phân tích trên (-1,1), vì Taylor mở rộng 1 + x + x²+Cẩu + xⁿ+Sự hội tụ của hàm đến khoảng đó và e^x  là phân tích ở khắp mọi nơi, kể từ loạt Taylor e^xhội tụ đến e^x cho mỗi số thực x.

Sự khác biệt giữa loạt Power và Taylor series là gì?

1. Sê-ri Taylor là một loại chuỗi sức mạnh đặc biệt chỉ được xác định cho các chức năng có thể phân biệt vô hạn trên một số khoảng thời gian mở.

2. Loạt Taylor có hình thức đặc biệt

        

trong khi đó, một chuỗi lũy thừa có thể là bất kỳ chuỗi nào có dạng