Sự khác biệt giữa FFT và DFT

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Vs. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Công nghệ và khoa học đi đôi với nhau. Và không có ví dụ nào tốt hơn việc xử lý tín hiệu số (DSP) này. Xử lý tín hiệu số là quá trình tối ưu hóa tính chính xác và hiệu quả của truyền thông kỹ thuật số. Mọi thứ đều là dữ liệu - cho dù đó là hình ảnh từ tàu thăm dò ngoài vũ trụ hay rung động địa chấn và bất cứ thứ gì ở giữa. Để chuyển đổi các dữ liệu này thành định dạng có thể đọc được bằng máy tính là xử lý tín hiệu số. Đây là một trong những công nghệ mạnh mẽ nhất kết hợp cả lý thuyết toán học và thực hiện vật lý. Nghiên cứu về DSP bắt đầu như một khóa học sau đại học về kỹ thuật điện, nhưng theo thời gian, nó đã trở thành một trò chơi điện tử tiềm năng trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Đủ để nói, nếu không có DSP, các kỹ sư và nhà khoa học có thể ngừng tồn tại.

Biến đổi Fourier là một phương tiện ánh xạ tín hiệu, trong miền thời gian hoặc không gian vào phổ của nó trong miền tần số. Các miền thời gian và tần số chỉ là các cách biểu diễn tín hiệu khác nhau và biến đổi Fourier là mối quan hệ toán học giữa hai biểu diễn. Việc thay đổi tín hiệu trong một miền cũng sẽ ảnh hưởng đến tín hiệu ở miền khác, nhưng không nhất thiết theo cùng một cách. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là một biến đổi giống như biến đổi Fourier được sử dụng với các tín hiệu số hóa. Như tên cho thấy, đây là phiên bản rời rạc của FT xem cả miền thời gian và miền tần số là định kỳ. Biến đổi Fourier nhanh (FFT) chỉ là một thuật toán để tính toán nhanh và hiệu quả của DFT.

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là một trong những công cụ quan trọng nhất trong xử lý tín hiệu số tính toán phổ của tín hiệu có thời lượng hữu hạn. Việc mã hóa thông tin trong các hình sin tạo thành tín hiệu là điều rất phổ biến. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng, hình dạng của dạng sóng miền thời gian không phải là ứng dụng cho các tín hiệu trong đó trường hợp nội dung tần số tín hiệu trở nên rất hữu ích theo những cách khác ngoài tín hiệu số. Việc biểu diễn tín hiệu số theo thành phần tần số của nó trong miền tần số là rất quan trọng. Thuật toán biến đổi tín hiệu miền thời gian thành các thành phần miền tần số được gọi là biến đổi Fourier rời rạc hoặc DFT.

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là một triển khai DFT tạo ra kết quả gần như tương tự với DFT, nhưng nó cực kỳ hiệu quả và nhanh hơn nhiều, thường làm giảm đáng kể thời gian tính toán. Nó chỉ là một thuật toán tính toán được sử dụng để tính toán DFT nhanh và hiệu quả. Các kỹ thuật tính toán DFT nhanh khác nhau được gọi chung là biến đổi Fourier nhanh, hoặc FFT. Gauss là người đầu tiên đề xuất kỹ thuật tính toán các hệ số theo lượng giác của quỹ đạo của tiểu hành tinh vào năm 1805. Tuy nhiên, mãi đến năm 1965, một bài báo bán nguyệt của Cooley và Tukey mới thu hút được sự chú ý của cộng đồng khoa học và kỹ thuật. nền tảng của kỷ luật xử lý tín hiệu số.

Sự khác biệt giữa FFT và DFT

1. Ý nghĩa của FFT và DFT

Biến đổi Fourier rời rạc, hay gọi đơn giản là DFT, là thuật toán biến đổi tín hiệu miền thời gian thành các thành phần miền tần số. DFT, như tên cho thấy, thực sự rời rạc; bộ dữ liệu miền thời gian rời rạc được chuyển thành biểu diễn tần số riêng biệt. Nói một cách đơn giản, nó thiết lập mối quan hệ giữa biểu diễn miền thời gian và biểu diễn miền tần số. Biến đổi Fourier nhanh, hay FFT, là một thuật toán tính toán giúp giảm thời gian tính toán và độ phức tạp của các biến đổi lớn. FFT chỉ là một thuật toán được sử dụng để tính toán nhanh DFT.

2. Thuật toán của FFT và DFT

Thuật toán FFT được sử dụng phổ biến nhất là thuật toán Cooley-Tukey, được đặt theo tên của J. W. Cooley và John Tukey. Đây là một thuật toán phân chia và chinh phục để tính toán máy cho chuỗi Fourier phức tạp. Nó phá vỡ DFT thành các DFT nhỏ hơn. Các thuật toán FFT khác bao gồm thuật toán Raderer, thuật toán biến đổi Win giác Fourier, thuật toán biến đổi Chirp Z, v.v ... Các thuật toán DFT có thể được lập trình trên các máy tính kỹ thuật số đa năng hoặc được thực hiện trực tiếp bằng phần cứng đặc biệt. Thuật toán FFT được sử dụng để tính toán DFT của một chuỗi hoặc nghịch đảo của nó. Một DFT có thể được thực hiện dưới dạng O (N²) về độ phức tạp thời gian, trong khi FFT làm giảm độ phức tạp thời gian theo thứ tự O (NlogN).

3. Các ứng dụng của FFT và DFT

DFT có thể được sử dụng trong nhiều hệ thống xử lý kỹ thuật số trên nhiều ứng dụng khác nhau như tính toán phổ tần số tín hiệu, giải quyết các ứng dụng vi phân từng phần, phát hiện mục tiêu từ tiếng vang radar, phân tích tương quan, nhân đa thức điện toán, phân tích quang phổ, v.v. FFT đã được sử dụng rộng rãi để đo âm thanh trong nhà thờ và phòng hòa nhạc. Các ứng dụng khác của FFT bao gồm phân tích quang phổ trong các phép đo video tương tự, phép nhân số nguyên và đa thức lớn, thuật toán lọc, phân phối đồng vị điện toán, tính toán các hệ số chuỗi Fourier, tính toán độ chụm, tạo ra nhiễu tần số thấp, thiết kế ma trận, thiết kế ma trận dày đặc hơn.

FFT so với DFT: Biểu đồ so sánh

Tóm tắt về FFT Vs. DFT

Tóm lại, Biến đổi Fourier rời rạc đóng vai trò chính trong vật lý vì nó có thể được sử dụng như một công cụ toán học để mô tả mối quan hệ giữa miền thời gian và biểu diễn miền tần số của các tín hiệu rời rạc. Nó là một thuật toán đơn giản nhưng khá tốn thời gian. Tuy nhiên, để giảm thời gian tính toán và độ phức tạp của các biến đổi lớn, có thể sử dụng thuật toán phức tạp hơn nhưng ít tốn thời gian hơn như Biến đổi Fourier nhanh. FFT là một triển khai DFT được sử dụng để tính toán nhanh DFT. Nói tóm lại, FFT có thể làm mọi thứ mà DFT làm, nhưng hiệu quả và nhanh hơn nhiều so với DFT. Đó là một cách hiệu quả để tính toán DFT.