Sự khác biệt giữa đạo hàm và vi phân

Đạo hàm và vi phân
 

Trong phép tính vi phân, đạo hàm và vi phân của hàm có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng có ý nghĩa rất khác nhau và được sử dụng để biểu diễn hai đối tượng toán học quan trọng liên quan đến các hàm khác nhau.

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm đo tốc độ thay đổi giá trị hàm khi đầu vào của hàm thay đổi. Trong các hàm đa biến, sự thay đổi của giá trị hàm phụ thuộc vào hướng thay đổi của các giá trị của các biến độc lập. Do đó, trong những trường hợp như vậy, một hướng cụ thể được chọn và chức năng được phân biệt theo hướng cụ thể đó. Đạo hàm đó được gọi là đạo hàm định hướng. Dẫn xuất một phần là một loại dẫn xuất định hướng đặc biệt.

Đạo hàm của hàm có giá trị véc tơ f có thể được định nghĩa là giới hạn bất cứ nơi nào nó tồn tại một cách hữu hạn. Như đã đề cập trước đây, điều này cho chúng ta tốc độ tăng của hàm f dọc theo hướng của vectơ bạn. Trong trường hợp hàm có một giá trị duy nhất, điều này làm giảm định nghĩa nổi tiếng của đạo hàm,  

Ví dụ, là ở mọi nơi khác nhau, và đạo hàm bằng giới hạn, , bằng với . Các dẫn xuất của các chức năng như   tồn tại ở mọi nơi Chúng tương ứng với các chức năng .                                                                                

Điều này được gọi là đạo hàm đầu tiên. Thường là đạo hàm đầu tiên của hàm f được ký hiệu là f ⁽¹⁾. Bây giờ sử dụng ký hiệu này, có thể định nghĩa các đạo hàm bậc cao hơn. là đạo hàm định hướng thứ hai và biểu thị n^{thứ tự} phái sinh bởi f ⁽ⁿ⁾ cho mỗi n, ,  định nghĩa n^{thứ tự} phát sinh.

Sự khác biệt là gì?

Sự khác biệt của hàm đại diện cho sự thay đổi của hàm đối với các thay đổi trong biến độc lập hoặc biến. Trong ký hiệu thông thường, cho một chức năng nhất định f của một biến duy nhất x, tổng chênh lệch của đơn hàng 1 df là được cho bởi, . Điều này có nghĩa là cho một sự thay đổi vô hạn trong x(tức là dx), sẽ có một  f ⁽¹⁾(x) dx Thay đổi trong f.

Sử dụng giới hạn người ta có thể kết thúc với định nghĩa này như sau. Giả sửx là sự thay đổi trong x tại một điểm tùy ý x vàf là sự thay đổi tương ứng trong hàm f. Có thể thấy rằngf = f ⁽¹⁾(x)x+ ε, trong đó ϵ là lỗi. Bây giờ, giới hạnx →0^Δf/_Δx= = f ⁽¹⁾(x) (sử dụng định nghĩa đã nêu trước đây về đạo hàm) và do đó,x →0^ε/_Δx= 0. Do đó, có thể kết luận rằng,x →0ε = 0. Bây giờ, biểu thịx →0f như df vàx →0x như dx định nghĩa của vi sai được thu thập nghiêm ngặt. 

Ví dụ: vi phân của hàm Là .

Trong trường hợp hàm của hai hoặc nhiều biến, tổng vi phân của hàm được định nghĩa là tổng của vi phân theo hướng của từng biến độc lập. Về mặt toán học, nó có thể được nêu là .