Sự khác biệt giữa phương trình sai phân và phương trình vi phân

Phương trình sai khác so với phương trình vi phân

Một hiện tượng tự nhiên có thể được mô tả bằng toán học bởi các chức năng của một số biến và tham số độc lập. Đặc biệt là khi chúng được thể hiện bởi một chức năng của vị trí không gian và thời gian nó dẫn đến phương trình. Hàm có thể thay đổi theo sự thay đổi của các biến độc lập hoặc các tham số. Một thay đổi vô hạn xảy ra trong hàm khi một trong các biến của nó được thay đổi được gọi là đạo hàm của hàm đó.

Một phương trình vi phân là bất kỳ phương trình nào chứa dẫn xuất của hàm cũng như chính hàm đó. Một phương trình vi phân đơn giản là Định luật chuyển động thứ hai của Newton. Nếu một vật có khối lượng m đang chuyển động với gia tốc 'a' và bị tác động với lực F thì Định luật thứ hai của Newton cho chúng ta biết rằng F = ma. Ở đây một lần nữa, 'a' thay đổi theo thời gian, chúng ta có thể viết lại 'a' như; a = dv / dt; v là vận tốc. Vận tốc là hàm của không gian và thời gian, đó là v = ds / dt; do đó 'a' = d²s / dt².

Giữ những điều này trong tâm trí chúng ta có thể viết lại định luật thứ hai của Newton như một phương trình vi phân;

'F' là một hàm của v và t - F (v, t) = mdv / dt, hoặc

'F' là hàm của s và t - F (s, ds / dt, t) = m d²s / dt²

Có hai loại phương trình vi phân; phương trình vi phân thông thường, viết tắt bởi ODE hoặc phương trình vi phân từng phần, viết tắt bởi PDE. Phương trình vi phân thông thường sẽ có đạo hàm thông thường (đạo hàm chỉ có một biến) trong đó. Phương trình vi phân từng phần sẽ có đạo hàm vi phân (đạo hàm của nhiều hơn một biến) trong đó.

ví dụ. F = m d²s / dt² là một ODE, trong khi α² d²bạn / dx² = du / dt là một PDE, nó có đạo hàm của t và x.

Phương trình sai phân giống như phương trình vi phân nhưng chúng ta xem xét nó trong bối cảnh khác nhau. Trong các phương trình vi phân, biến độc lập như thời gian được xem xét trong bối cảnh hệ thống thời gian liên tục. Trong hệ thống thời gian rời rạc, chúng ta gọi hàm là phương trình sai khác.

Phương trình sai phân là một hàm của sự khác biệt. Sự khác biệt trong các biến độc lập là ba loại; dãy số, hệ động lực rời rạc và hàm lặp.

Trong chuỗi số, sự thay đổi được tạo theo cách đệ quy bằng cách sử dụng quy tắc để liên kết từng số trong chuỗi với các số trước đó trong chuỗi.

Phương trình sai phân trong một hệ động lực rời rạc lấy một số tín hiệu đầu vào riêng biệt và tạo ra tín hiệu đầu ra.

Phương trình sai khác là một bản đồ lặp cho hàm lặp. Ví dụ: y₀, f (y₀), f (f (y₀)), f (f (f (y (y₀))), ĐI. Là chuỗi của một hàm lặp. Các f (y₀) là lần lặp đầu tiên của y₀. Lặp lại thứ k sẽ được ký hiệu là f^k(y₀).