Sự khác biệt giữa sự khác biệt và đạo hàm

Phân biệt so với phái sinh
 

Trong phép tính vi phân, đạo hàm và phân biệt có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng rất khác nhau và được sử dụng để biểu diễn hai khái niệm toán học quan trọng liên quan đến các hàm.

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm đo tốc độ thay đổi giá trị hàm khi đầu vào của hàm thay đổi. Trong các hàm đa biến, sự thay đổi của giá trị hàm phụ thuộc vào hướng thay đổi của các giá trị của các biến độc lập. Do đó, trong những trường hợp như vậy, một hướng cụ thể được chọn và chức năng được phân biệt theo hướng cụ thể đó. Đạo hàm đó được gọi là đạo hàm định hướng. Dẫn xuất một phần là một loại dẫn xuất định hướng đặc biệt.

Đạo hàm của hàm có giá trị véc tơ f có thể được định nghĩa là giới hạn bất cứ nơi nào nó tồn tại một cách hữu hạn. Như đã đề cập trước đây, điều này cho chúng ta tốc độ tăng của hàm f dọc theo hướng của vectơ bạn. Trong trường hợp hàm có một giá trị duy nhất, điều này làm giảm định nghĩa nổi tiếng của đạo hàm,  

Ví dụ, là ở mọi nơi khác nhau, và đạo hàm bằng giới hạn, , bằng với . Các dẫn xuất của các chức năng như   tồn tại ở mọi nơi Chúng tương ứng với các chức năng .                                                                                

Điều này được gọi là đạo hàm đầu tiên. Thường là đạo hàm đầu tiên của hàm f được ký hiệu là f ⁽¹⁾. Bây giờ sử dụng ký hiệu này, có thể định nghĩa các đạo hàm bậc cao hơn. là đạo hàm định hướng thứ hai và biểu thị n^{thứ tự} phái sinh bởi f ⁽ⁿ⁾ cho mỗi n, ,  định nghĩa n^{thứ tự} phát sinh.

Sự khác biệt là gì?

Khác biệt hóa là quá trình tìm đạo hàm của một hàm khác biệt. Toán tử D được ký hiệu là D đại diện cho sự khác biệt trong một số bối cảnh. Nếu x là biến độc lập, sau đó D ^d/_dx. Toán tử D là toán tử tuyến tính, tức là cho bất kỳ hai hàm phân biệt nào f và g và không đổi c, các thuộc tính sau giữ.

Tôi.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(cf) = = CD(f )

Sử dụng toán tử D, các quy tắc khác liên quan đến sự khác biệt có thể được thể hiện như sau. D(f g) = D(f ) g +f(g) , D(^f/_g) = = ^{[D(f ) g - f(g)]}/_g² và D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

Ví dụ: khi F (x) = = x²tội x được phân biệt với x sử dụng các quy tắc được đưa ra, câu trả lời sẽ là 2xtội x -+ x²cosx.