Sự khác biệt giữa phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến

Phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến

Trong toán học, phương trình đại số là phương trình, được hình thành bằng cách sử dụng đa thức. Khi được viết rõ ràng các phương trình sẽ có dạng P (x) = 0, trong đó x là một vectơ gồm n biến chưa biết và P là đa thức. Ví dụ: P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 là một phương trình đại số trong hai biến được viết rõ ràng. Ngoài ra, (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ là một phương trình đại số, nhưng ở dạng ẩn và nó sẽ có dạng Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, một khi được viết rõ ràng.

Một đặc tính quan trọng của phương trình đại số là mức độ của nó. Nó được định nghĩa là sức mạnh cao nhất của các điều khoản xảy ra trong phương trình. Nếu một thuật ngữ bao gồm hai hoặc nhiều biến, tổng số mũ của mỗi biến sẽ được coi là sức mạnh của thuật ngữ. Quan sát rằng theo định nghĩa này P (x, y) = 0 là độ 5, trong khi Q (x, y, z) = 0 là độ 5.

Phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến là hai phân vùng được xác định trên tập phương trình đại số. Mức độ của phương trình là yếu tố phân biệt chúng với nhau.

Phương trình tuyến tính là gì?

Phương trình tuyến tính là phương trình đại số bậc 1. Ví dụ, 4x + 5 = 0 là phương trình tuyến tính của một biến. x + y + 5z = 0 và 4x = 3w + 5y + 7z lần lượt là các phương trình tuyến tính của 3 và 4 biến. Nói chung, một phương trình tuyến tính của n biến sẽ có dạng m₁x₁ + m₂x₂ +Cẩu + m_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Đây, x_TôiLà các biến chưa biết, m_Tôi's và b là các số thực trong đó mỗi m_Tôi khác không.

Một phương trình như vậy đại diện cho một mặt phẳng siêu trong không gian Euclide n chiều. Cụ thể, một phương trình tuyến tính hai biến đại diện cho một đường thẳng trong mặt phẳng Cartesian và một phương trình tuyến tính ba biến thể hiện một mặt phẳng trên không gian 3 Euclide.

Phương trình phi tuyến là gì?

Một phương trình bậc hai là một phương trình đại số, không tuyến tính. Nói cách khác, phương trình phi tuyến là phương trình đại số bậc 2 trở lên. x² + 3x + 2 = 0 là một phương trình phi tuyến đơn biến. x² + y³+ 3xy = 4 và 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 là ví dụ về phương trình phi tuyến của 3 và 4 biến tương ứng.

Một phương trình phi tuyến bậc hai được gọi là phương trình bậc hai. Nếu độ là 3, thì nó được gọi là phương trình bậc ba. Các phương trình bậc 4 và bậc 5 được gọi là phương trình bậc bốn và phương vị tương ứng. Người ta đã chứng minh rằng không tồn tại một phương pháp phân tích để giải bất kỳ phương trình phi tuyến bậc 5 nào, và điều này cũng đúng với bất kỳ mức độ nào cao hơn. Các phương trình phi tuyến có thể giải được biểu thị các bề mặt không phải là các mặt phẳng.