Sự khác biệt giữa Hàm phân phối xác suất và Hàm mật độ xác suất

Hàm phân phối xác suất so với Hàm mật độ xác suất

Xác suất là khả năng của một sự kiện sẽ xảy ra. Ý tưởng này rất phổ biến và được sử dụng thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày khi chúng ta đánh giá các cơ hội, giao dịch và nhiều thứ khác. Việc mở rộng khái niệm đơn giản này đến một tập hợp các sự kiện lớn hơn sẽ khó khăn hơn một chút. Ví dụ, chúng ta không thể dễ dàng tìm ra cơ hội trúng xổ số, nhưng thật tiện lợi, khá trực quan, để nói rằng có khả năng một trong sáu là chúng ta sẽ bị ném số sáu trong một con xúc xắc.

Khi số lượng sự kiện có thể diễn ra ngày càng lớn hoặc số lượng khả năng cá nhân lớn, ý tưởng xác suất khá đơn giản này sẽ thất bại. Do đó, nó phải được đưa ra một định nghĩa toán học vững chắc trước khi tiếp cận các vấn đề với độ phức tạp cao hơn.

Khi số lượng sự kiện có thể diễn ra trong một tình huống lớn, không thể xem xét từng sự kiện riêng lẻ như trong ví dụ về con xúc xắc được ném. Do đó, toàn bộ tập hợp các sự kiện được tóm tắt bằng cách đưa ra khái niệm về biến ngẫu nhiên. Đó là một biến, có thể giả sử các giá trị của các sự kiện khác nhau trong tình huống cụ thể đó (hoặc không gian mẫu). Nó mang lại ý nghĩa toán học cho các sự kiện đơn giản trong tình huống và cách toán học để giải quyết sự kiện. Chính xác hơn, một biến ngẫu nhiên là một hàm giá trị thực trên các phần tử của không gian mẫu. Các biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hoặc liên tục. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa của bảng chữ cái tiếng Anh.

Hàm phân phối xác suất (hoặc đơn giản là phân phối xác suất) là hàm gán các giá trị xác suất cho mỗi sự kiện; tức là nó cung cấp một mối quan hệ với xác suất cho các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể lấy. Hàm phân phối xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.

Hàm mật độ xác suất tương đương với hàm phân phối xác suất cho các biến ngẫu nhiên liên tục, cho khả năng của một biến ngẫu nhiên nhất định để giả sử một giá trị nhất định.

Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm được cho là f(x) = = P(X = = x) cho mỗi x trong phạm vi X được gọi là hàm phân phối xác suất. Hàm có thể đóng vai trò là hàm phân phối xác suất khi và chỉ khi hàm thỏa mãn các điều kiện sau.

1. f(x) ≥ 0

2. f(x) = 1

Một chức năng f(x) được xác định qua tập hợp các số thực được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, nếu và chỉ nếu,

P(một ≤ x ≤ b) = = _một∫^b f(x) dx cho bất kỳ hằng số thực một và b.

Hàm mật độ xác suất cũng phải thỏa mãn các điều kiện sau.

1. f(x) ≥ 0 cho tất cả x: -∞ < x < +∞

2. _-∞∫^+∞ f(x) dx = 1

Cả hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất được sử dụng để thể hiện phân phối xác suất trên không gian mẫu. Thông thường, chúng được gọi là phân phối xác suất.

Đối với mô hình thống kê, các hàm mật độ xác suất tiêu chuẩn và các hàm phân phối xác suất được lấy. Phân phối chuẩn và phân phối chuẩn thông thường là ví dụ về phân phối xác suất liên tục. Phân phối nhị thức và phân phối Poisson là ví dụ về phân phối xác suất rời rạc.

Sự khác biệt giữa Phân phối Xác suất và Hàm Mật độ Xác suất là gì?

• Hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất là các hàm được xác định trên không gian mẫu, để gán giá trị xác suất phù hợp cho từng phần tử.

• Các hàm phân phối xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc trong khi các hàm mật độ xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên liên tục.

• Phân phối các giá trị xác suất (nghĩa là phân phối xác suất) được mô tả tốt nhất bằng hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.

• Hàm phân phối xác suất có thể được biểu diễn dưới dạng các giá trị trong bảng, nhưng điều đó là không thể đối với hàm mật độ xác suất vì biến là liên tục.

• Khi được vẽ, hàm phân phối xác suất đưa ra một biểu đồ thanh trong khi hàm mật độ xác suất cho một đường cong.

• Chiều cao / chiều dài của các thanh của hàm phân phối xác suất phải thêm vào 1 trong khi diện tích dưới đường cong của hàm mật độ xác suất phải thêm vào 1.

• Trong cả hai trường hợp, tất cả các giá trị của hàm phải không âm.