Sự khác biệt giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Các thí nghiệm thống kê là các thử nghiệm ngẫu nhiên có thể được lặp lại vô thời hạn với một tập hợp kết quả đã biết. Cả hai biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất được liên kết với các thí nghiệm như vậy. Đối với mỗi biến ngẫu nhiên, có một phân phối xác suất liên quan được xác định bởi một hàm gọi là hàm phân phối tích lũy.

Một biến ngẫu nhiên là gì?

Một biến ngẫu nhiên là một hàm gán các giá trị số cho kết quả của một thí nghiệm thống kê. Nói cách khác, đó là một hàm được xác định từ không gian mẫu của một thí nghiệm thống kê thành tập hợp các số thực.

Ví dụ, hãy xem xét một thử nghiệm ngẫu nhiên về việc lật một đồng xu hai lần. Các kết quả có thể xảy ra là HH, HT, TH và TT (H - Heads, T - tales). Đặt biến X là số lượng đầu được quan sát trong thí nghiệm. Sau đó, X có thể lấy các giá trị 0, 1 hoặc 2 và đó là một biến ngẫu nhiên. Ở đây, biến ngẫu nhiên X sẽ ánh xạ tập S = HH, HT, TH, TT (không gian mẫu) sang tập 0, 1, 2 theo cách mà HH được ánh xạ tới 2, HT và TH được ánh xạ tới 1 và TT được ánh xạ tới 0. Trong ký hiệu hàm, điều này có thể được viết là, X: S → R trong đó X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 và X ( TT) = 0.

Có hai loại biến ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục, theo đó, số lượng giá trị có thể mà một biến ngẫu nhiên có thể giả định là nhiều nhất có thể đếm được hoặc không. Trong ví dụ trước, biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên rời rạc vì 0, 1, 2 là tập hữu hạn. Bây giờ, hãy xem xét các thí nghiệm thống kê về việc tìm trọng lượng của học sinh trong một lớp. Đặt Y là biến ngẫu nhiên được định nghĩa là trọng lượng của một học sinh. Y có thể nhận bất kỳ giá trị thực trong một khoảng thời gian cụ thể. Do đó, Y là một biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân phối xác suất là gì?

Phân phối xác suất là một hàm mô tả xác suất của một biến ngẫu nhiên lấy các giá trị nhất định.

Hàm được gọi là hàm phân phối tích lũy (F) có thể được xác định từ tập hợp số thực đến tập hợp số thực là F (x) = P (X ≤ x) (xác suất X nhỏ hơn hoặc bằng x) cho mỗi kết quả có thể x. Bây giờ hàm phân phối tích lũy của X trong ví dụ đầu tiên có thể được viết là F (a) = 0, nếu a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc, một hàm có thể được xác định từ tập hợp các kết quả có thể đến tập hợp các số thực theo cách sao cho (x) = P (X = x) (xác suất của X bằng x) cho mỗi kết quả có thể x. Hàm đặc biệt này được gọi là hàm khối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Bây giờ hàm khối lượng xác suất của X trong ví dụ cụ thể đầu tiên có thể được viết là (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 và (x) = 0 nếu không. Do đó, hàm khối lượng xác suất cùng với hàm phân phối tích lũy sẽ mô tả phân phối xác suất của X trong ví dụ đầu tiên.

Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên tục, một hàm được gọi là hàm mật độ xác suất (ƒ) có thể được định nghĩa là (x) = dF (x) / dx cho mỗi x trong đó F là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên liên tục. Dễ dàng thấy rằng hàm này thỏa mãn (x) dx = 1. Hàm mật độ xác suất cùng với hàm phân phối tích lũy mô tả phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ: phân phối chuẩn (là phân phối xác suất liên tục) được mô tả bằng hàm mật độ xác suất (x) = 1 / (2πσ²) e ^ ([(x-Lời)]²/ (2σ²)).