Sự khác biệt giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

Tích phân Riemann vs Tích phân Lebesgue

Tích hợp là một chủ đề chính trong tính toán. Trong một ý nghĩa môi giới, tích hợp có thể được coi là quá trình phân biệt ngược. Khi mô hình hóa các vấn đề trong thế giới thực, thật dễ dàng để viết các biểu thức liên quan đến đạo hàm. Trong tình huống như vậy, hoạt động tích hợp được yêu cầu để tìm hàm, đã đưa ra đạo hàm cụ thể.

Từ một góc độ khác, tích hợp là một quá trình, tổng hợp sản phẩm của hàm ƒ (x) và δx, trong đó δx có xu hướng là một giới hạn nhất định. Đây là lý do tại sao, chúng tôi sử dụng biểu tượng tích hợp là. Trên thực tế, ký hiệu là những gì chúng ta có được bằng cách kéo dài chữ s để chỉ tổng.

Tích phân Riemann

Xét một hàm số y = ƒ (x). Tích phân của y giữa một và b, Ở đâu một và b thuộc về một tập x, được viết là _b∫^mộtƒ (x) dx = [F(x)]_một→b = = F(b) - F(một). Đây được gọi là tích phân xác định của hàm đơn có giá trị và liên tục y = ƒ (x) giữa a và b. Điều này cho khu vực dưới đường cong giữa một và b. Điều này cũng được gọi là tích phân Riemann. Tích phân Riemann được tạo ra bởi Bernhard Riemann. Tích phân Riemann của hàm liên tục dựa trên thước đo Jordan, do đó, nó cũng được định nghĩa là giới hạn của tổng Riemann của hàm. Đối với hàm có giá trị thực được xác định trong khoảng thời gian đóng, tích phân Riemann của hàm đối với phân vùng x₁, x₂,Giáo dục, x_n được định nghĩa trên khoảng [a, b] và t₁, t₂,Giáo dục, t_n, trong đó x_Tôi ≤ t_Tôi X_{tôi + 1} với mỗi i ε 1, 2, Nhận, n, tổng Riemann được định nghĩa là_{i = o đến n-1} ƒ (t_Tôi) (x_{tôi + 1} - x_Tôi).

Tích phân Lebesgue

Lebesgue là một loại tích phân khác, bao gồm nhiều trường hợp khác nhau so với tích phân Riemann. Tích phân lebesgue được giới thiệu bởi Henri Lebesgue vào năm 1902. Tích hợp Legesgue có thể được coi là một khái quát của tích hợp Riemann.

Tại sao chúng ta cần nghiên cứu một tích phân khác?

Chúng ta hãy xem xét chức năng đặc trưng_{A (x) = 0 nếu, x không A}^{1 nếu, x ε A} trên tập A. Sau đó, tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm đặc trưng, ​​được định nghĩa là F(x) = Σ a_TôiƒE_Tôi(x) được gọi là hàm đơn giản nếu E_Tôi có thể đo lường được cho mỗi i. Tích phân Lebesgue của F(x) hơn E được ký hiệu là _E∫ ƒ (x) dx. Chức năng F(x) không thể tích hợp Riemann. Do đó, tích phân Lebesgue là viết lại cụm từ Riemann, có một số hạn chế đối với các chức năng được tích hợp.